حدس اردوش در زمینه تطابق در ابرگراف ها

به دوتایی ‎$h=(v,e)$‎ که ‎$v$‎ مجموعه ای متناهی و ‎$e$‎ مجموعه ای از زیرمجموعه های ‎$v$‎ است ابرگراف می گوییم. اعضای ‎$v$‎ را رئوس و اعضای ‎$e$‎ را یال های ابرگراف ‎$h$‎ می نامیم. به مجموعه ای از یال های ‎$h$‎ که اشتراک دوبه دوی آن ها تهی باشد یک تطابق گوییم. در سال ‎1965‎ اردوش حدس زد که یک ابرگراف ‎$n$‎ رأسی ‎$h$‎ که تعداد رئوس هر یال آن برابر ‎$k$‎ و اندازه بزرگ ترین تطابق آن برابر ‎$s$‎ است دارای یکی از دو ساختار زیر است ‎$h$‎ زیر ابرگرافی کامل روی ‎$sk+k-1$‎ رأس دارد و ‎$n-sk-k+1$‎ رأس دیگر آن، رئوس ‎$h$‎ متعلق به خانواده ای از ابرگراف ها می باشد که یال های آن همه ی ‎$k$‎ تایی هایی را شامل می شود که با یک مجموعه ی مشخص رئوس از اندازه ی ‎$s$‎ اشتراک دارند. ‎end{itemize}‎ برای ‎$k$‎ و ‎$s$‎ دلخواه در حالت کلی، اردوش نشان داد که این حدس برای ‎$n$‎ به اندازه ی کافی بزرگ برقرار است، یعنی تابع ‎$g(k)$‎ وجود دارد که برای ‎$ngeq{g(k)s}$‎ این حدس برقرار است. بیشتر تلاش های صورت گرفته برای اثبات این حدس، سعی در بهبود این کران بوده است. سوداکو و همکارانش در سال ‎2012‎ نشان دادند حدس اردوش برای ‎$n>3k^2s$‎ برقرار است. فرانکل نیز در سال ‎2012‎ این کران را به ‎$n>frac{2k^2s}{log(k)}$‎ بهبود داد و در حالت خاص ‎$k=3$‎، این حدس را به اثبات رسانید. در این پایان نامه به بررسی کران های به دست آمده توسط فرانکل، سوداکو و همکارانش می پردازیم. فرانکل در سال ‎2013‎ موفق شد کران بهتری برای حدس اردوش بیابد که اشاره ی مختصری نیز به آن خواهیم داشت.